\subsection*{10.} Но вот я опять сбился: я ведь предполагал рассказать о главных
        темах, собравшихся в одно материнское видение --- как реки, дочери
        моря, возвращаясь, все текут к нему{\ds}

           Это широкое объединяющее видение может быть описано как {\it новая
        геометрия}.  Именно о ней, думается, грезил еще Кронекер в прошлом
        столетии\footnote { Я знал об этой {\лк}мечте Кронекера{\пк} лишь
понаслышке
        до тех пор, пока кто-то (вполне возможно, что это был Джон Тэйт) не
        сказал мне, что я нахожусь в процессе ее осуществления.  Образование,
        которое я получал от старших коллег, ссылки на историю включало редко.
        Восполнялось это не чтением современных или сколько-нибудь древних
        авторов, но в первую очередь общением с другими математиками,
        непосредственным или по переписке, начатой старшими.  Основным, даже
        может быть, единственным, внешним источником вдохновения для
        внезапного и бурного старта теории схем в 1958 году была статья
        Серра, хорошо известная под сокращением АКП ({\лк}Алгебраические
        когерентные пучки{\пк}), которая вышла в свет на несколько лет раньше.
        В остальном же все дальнейшее развитие теории питалось энергией,
        истекавшей по сути от нее самой.  Поток этот возобновлялся с годами,
        хотя бы только в соответствии с требованиями простоты и внутренней
        согласованности, в попытке рассмотреть в новом контексте все
        {\лк}хорошо известное{\пк} в алгебраической геометрии (и усвоенное мной по
        мере того, как преобразовывалось, проходя через мои руки) ---
        и то еще, что это {\лк}известное{\пк} дало мне возможность предугадать.}.
        Но действительность (дерзкая мечта может иногда предчувствовать ее
        или предвидеть, побуждая нас к открытию) неизменно превосходит,
        богатством красок, густотой и силой звучания, мечту самую смелую
        и самую глубокую.  Заведомо в этой новой геометрии есть не один такой
        раздел (если не все сразу), о каком накануне его создания никто
        не мог и помыслить, менее всего сам работник.

           Можно сказать, что {\лк}число{\пк} способно уловить структуру
{\лк}разрывных{\пк},
        или {\лк}дискретных{\пк} систем --- часто конечных, состоящих из
{\лк}элементов{\пк},
        или {\лк}объектов{\пк}, {\лк}изолированных{\пк} друг от друга, без
какого бы то ни
        было правила {\лк}непрерывного перехода{\пк} от одного к другому.
{\лк}Размер{\пк},
        напротив, есть свойство, поддающееся в полном смысле этого слова
        {\лк}непрерывному изменению{\пк}.  Он тем самым способен уловить структуру
        непрерывных явлений: перемещений, пространств, {\лк}многообразий{\пк} всех
        родов, силовых полей и т.п.  Итак, арифметика выступает (грубо говоря)
        как {\it наука о дискретных структурах}, а анализ --- как {\it наука о
        непрерывных структурах}.

           Что касается геометрии, можно утверждать, что в течение более чем
        двух тысяч лет ее существования как науки (в современном понимании
        этого слова) она охватывает оба вида структур: как {\лк}дискретные{\пк}, так
        и {\лк}непрерывные{\пк}\footnote {По правде говоря, традиционно именно
        {\лк}непрерывный{\пк} аспект находился в центре внимания геометрии, в то
        время как свойства {\лк}дискретной природы{\пк}, в частности численные
        и комбинаторные, было принято обходить молчанием, или кой-как, мельком
        учитывать.  И воистину с восхищением десять лет назад я обнаружил
        богатства комбинаторики икосаэдра, а ведь эта тема совсем не затронута
        (может быть, даже не замечена) Клейном в его классической книге об
        икосаэдре.  Другой поразительный признак той же (двухтысячелетней)
        небрежности геометров, которые стояли лицом к лицу с дискретными
        структурами, самопроизвольно проникшими в геометрию, мне видится в
        том, что понятие группы (симметрий, в частности) не появлялось вплоть
        до конца прошлого века --- и поначалу оно было введено (Эваристом
        Галуа) в контексте, который тогда не почитался частью геометрических
        владений.  Правда, что и в наши дни есть немало алгебраистов,
        все еще не разобравших, что теория Галуа --- {\it видение\/} по сути
        своей {\it геометрическое}, которому удалось обновить наше понимание
        явлений, именуемых {\лк}арифметическими{\пк}\ds}.  Долгое время, впрочем,
        не было настоящего {\лк}разлада{\пк} между {\it двумя\/} геометриями разной
        природы:
%Г может быть, лучше "природы"?
%Ф СВЕРХУ ИЗМЕНЕНО
одной дискретной, другой непрерывной.  Скорее, сосуществовали
        две различные точки зрения на исследование {\it самих\/} геометрических
        фигур: одна делала упор на {\лк}дискретных{\пк} (в частности, численных и
        комбинаторных) свойствах, другая --- на {\лк}непрерывных{\пк} (таких, как
        положение в окружающем пространстве, или {\лк}размер{\пк}, измеренный в
        терминах расстояний между точками фигуры, и т.п.).

           Разлад возник в конце прошлого столетия, с появлением и развитием
        того, что иногда называют {\лк}абстрактной (алгебраической) геометрией{\пк}.
        В общих чертах она состояла в введении для каждого простого числа
        $p$ геометрии (алгебраической) {\лк}в характеристике $p${\пк},
        скопированной с непрерывной модели геометрии (алгебраической),
        унаследованной от предыдущих столетий, но все же в контексте, который
        выступал непримиримо {\лк}разрывным{\пк}, {\лк}дискретным{\пк}.  Эти новые
        геометрические объекты приобрели все возрастающее значение в начале
        века, и особенно ввиду тесной их
%Г их тесной
связи с арифметикой, наукой в полном
        смысле этого слова дискретной структуры.  Похоже, одна из ведущих
        идей труда {\it Андрэ Вейля\/}\footnote{ Андрэ Вейль, французский
        математик, эмигрировавший в Соединенные Штаты, один из
        {\лк}членов-основателей{\пк} группы Бурбаки, о которой немало будет сказано
        в первой части {\лк}РС{\пк} (как, впрочем, и о самом
        Вейле).}, даже может быть, главная движущая сила (которая, как
        водится, осталась более или менее невысказанной в его записанных
        работах), состоит в том, что
%Г работах), состоит в том, что...
%Ф СВЕРХУ ИЗМЕНЕНО
{\лк}собственно{\пк} геометрия (алгебраическая), и в
        особенности {\лк}дискретные{\пк} геометрии, соответствующие различным простым
        числам, предоставляют ключ к широчайшему обновлению арифметики.
        Именно этим духом пронизаны прогремевшие в 1949 году знаменитые
        {\it гипотезы Вейля}.  Гипотезы совершенно потрясающие, по правде
        сказать, позволившие предвидеть для этих новых {\лк}многообразий{\пк} (или
        {\лк}пространств{\пк}) дискретной природы возможность определенных типов
        конструкций и рассуждений\footnote{ (Предназначается для
        читателя-математика.)  Речь идет о {\лк}конструкциях и рассуждениях{\пк},
        связанных с когомологической теорией комплексных или гладких
        многообразий, в частности, включающих формулу неподвижных точек
        Лефшеца и теорию Ходжа.}, казавшихся до тех пор немыслимыми вне рамок
        тех {\лк}пространств{\пк}, которые одни только почитались аналитиками
        достойными этого имени ---
%Г ...вне рамок тех {\лк}пространств{\пк} --- только их аналитики почитали
%Г достойными этого имени --- именно, пространств, называемых...
именно, пространства, называемые
        {\лк}топологическими{\пк} (для которых применимо понятие непрерывного
        изменения).

           Можно считать, что новая геометрия --- это прежде всего прочего
        {\it синтез\/} двух миров, до ее появления
%Г двух миров, ранее смежных...
%Ф СВЕРХУ ИЗМЕНЕНО
смежных и тесно связанных друг с
        другом, но все же отдельных, различных: {\it мира {\лк}арифметического{\пк}},
        в котором живут (самозванные) {\лк}пространства{\пк}
%Г в котором живут {\лк}пространства{\пк}-самозванцы без принципа...
без принципа
        непрерывности, и {\it мира непрерывных величин}, где обитают
        {\лк}пространства{\пк} в собственном смысле этого слова, достижимые средствами
        аналитика и (по этой самой причине) им же признанные достойными
        пристанища в городе математических объектов.
%Г ...этого слова, доступные аналитикам, которые потому и отвели им место
%Г в стране Математики.
{\it В новом видении
        эти два мира, некогда разделенные стеной, стали как один, сметя
        границы.}

           Впервые это видение {\it арифметической геометрии\/} (как я предлагаю
        назвать новую геометрию) зародилось в форме гипотез Вейля.  В процессе
        развития некоторых моих главных тем\footnote { Речь идет о четырех
        {\лк}средних{\пк} темах (5--8), то есть темах {\it топоса},
        {\it мотивов}, {\it этальных и $l$-адических когомологий\/} и (в меньшей
        степени) {\it кристаллов}.  Я их извлек на свет одну за другой между
        1958 и 1966 годами.} гипотезы эти оставались основным
        источником вдохновения все время от 1958 до 1966 года.  Еще до
        меня, впрочем, {\it Оскар Зарисский\/} с одной стороны, затем
        {\it Жан-Пьер Серр\/} с другой, для пространств-без-стыда-и-совести в
%Г ...с другой, для бесстыжих пространств-самозванцев
        {\лк}абстрактной{\пк} алгебраической геометрии развили определенные
        {\лк}топологические{\пк} методы, основанные на тех, что прежде были в ходу
%Г ...среди пространств с прочными устоями\footnote...
        среди пространств-с-прочными-устоями во всем мире\footnote {
        (Предназначается для читателя-математика.)  Основным вкладом
        Зарисского
        в этом направлении мне представляется введение {\лк}топологии Зарисского{\пк}
        (ставшей позднее важным инструментом для Серра в АКП), его {\лк}принцип
        связности{\пк} и то, что он назвал {\лк}теорией голоморфных функций{\пк} ---
        сделавшейся в его руках теорией формальных схем; также {\лк}теоремы
        сравнения{\пк} между формальным и алгебраическим (наряду с
        основополагающей статьей ГАГА Серра, вторым источником вдохновения).
        Что же до вклада Серра, о котором я упомянул в тексте, он,
        безусловно, заключается прежде всего во введении в абстрактную
        алгебраическую геометрию точки зрения {\it пучков\/} (предложенной
        {\it Жаном Лерэ\/} десятью годами раньше в совершенно ином контексте),
        в другой его важнейшей работе АКП ({\лк}Алгебраические когерентные
        пучки{\пк}), о которой здесь уже говорилось.

           В свете этой {\лк}поименной переклички{\пк}: если бы мне предложили назвать
        ближайших {\лк}прародителей{\пк} нового геометрического видения, то имена
        {\it Оскара Зарисского}, {\it Андрэ Вейля}, {\it Жана Лерэ\/} и
        {\it Жан-Пьера Серра\/}
        я бы произнес, не задумываясь.  Среди них Серру принадлежит особая
        роль, так как главным образом через его посредство я ознакомился
        не только с его собственными идеями, но также с идеями Зарисского,
        Вейля и Лерэ, немало значившими для зарождения и развития новой
        геометрии.}. Их идеи, несомненно, сыграли важную роль в построении
        новой геометрии, начиная с первых моих шагов;
        правда, скорее в качестве отправных точек и {\it инструментов\/}
        (которые мне пришлось в той или иной степени переделать для нужд
        куда более широкого контекста), чем источника вдохновения,
        который продолжал бы питать мои мечты и проекты в течение месяцев и
        лет.  Во всяком случае, было вполне ясно сразу, что, даже
        преобразованные, инструменты эти были весьма далеки от того, что
       требовалось уже для первых шагов в направлении
        фантастических гипотез Вейля.

