\subsection*{13.} Точка зрения и язык пучков,
%        [*Буквально здесь сказано: {\лк}точка зрения и язык пучков{\пк}; это
%       не очень звучит, но, если хочешь, напиши так: все лучше, чем
%       твое {\лк}основанные на понятии пучка, введенные Лерэ{\пк}, с двумя
%       причастными оборотами разной грамматической структуры подряд*]
%Да, давай лучше {\лк}точка зрения и язык пучков{\пк}.
        введенные
        Лерэ, заставили нас рассмотреть {\лк}пространства{\пк} и
{\лк}многообразия{\пк} всех
        родов в новом свете.  Они не затрагивали, однако, самого понятия
        пространства, ограничиваясь тем, что предоставили нам возможность,
        вглядевшись новыми глазами, достичь более тонкого понимания
        устройства традиционных {\лк}пространств{\пк}, уже всем знакомых.
Однако
это понятие пространства оказалось неадекватным для того, чтобы
дать отчет о наиболее существенных
        {\лк}топологических инвариантах{\пк}, выражающих {\лк}форму{\пк}
абстрактных
        алгебраических многообразий (с которыми связаны гипотезы Вейля),
        даже {\лк}схем{\пк} вообще (обобщающих старинные многообразия).  Для
        ожидаемого {\лк}союза{\пк} числа и величины (размера) это ложе было бы
        решительно тесновато:  на нем сумел бы с грехом пополам устроиться
        разве что один из будущих супругов  (именно, невеста), но никак не
        оба сразу!
        {\лк}Новый принцип{\пк}, который еще оставалось найти, чтобы свадьба,
        обещанная добрыми феями, совершилась, был попросту иным, просторным
        {\it ложем}, которому недоставало лишь новобрачных --- и никто его
        не замечал до некоторых пор{\ds}

           Эта {\лк}двуместная кровать{\пк} возникла (как по мановению волшебной
        палочки) с появлением идеи {\it топоса}.  Эта идея охватывает в
        общетопологической интуиции как традиционные топологические
        пространства, олицетворяющие мир непрерывной величины,  вместе с
        (самозванными) {\лк}пространствами{\пк} (или {\лк}многообразиями{\пк})
неприкаянных
        служителей абстрактной алгебраической геометрии,
%[* You can read,
%       can't you?  {\лк}Des geometres{\пк} is not exactly the same as {\лк}de la
%       geometrie{\пк}, wouldn't you agree?  Besides, it's not such a good idea
%       to transfer the adjective {\лк}impenitent{\пк} from {\лк}geometre{\пк}
%(an animated
%       object) to {\лк}geometrie{\пк}, even if you have decided to use the latter,
%       instead of the first one.*]
%Agreed.
так и бесчисленное множество других типов
        структур, до тех пор казавшихся безнадежными пленниками
        {\лк}арифметического мира{\пк} систем {\лк}разрывных{\пк}, или
{\лк}дискретных{\пк}.

            Концепция пучков и была тем безмолвным вожатым, тем действенным
        ключом (отнюдь не тайным), приведшим меня, не петляя и без
        проволочек, к супружеской опочивальне с просторным брачным ложем.
         Места в самом деле довольно; это ведь  как широкая тихая река, чьи
        воды до того глубоки, что
          \begin{verse}
          {\лк}Всем царским коням заодно\\
          Допить до дна бы мудрено\dsp{\пк}
%Г Допить бы до дна мудрено...{\пк}
%Ф Нет: здесь ударение "_ко_ням", на первый слог. 
          \end{verse}
     --- как поется в старинной песенке, которую ты наверное певал и сам,
        или по меньшей мере слышал.  И тот, кто спел ее первым, верней
        ощутил  бы
%[*Козел, блин.  Кто же это был?  Математик, вроде тебя?
%       Ты тоже, говорят, петь любишь.  У Гротендика здесь нет
%       сослагательного наклонения, потому что, по его мнению, {\лк}красота{\пк}
%       у этой, чтоб ее, реки и у топоса его вонючего _одна и та же_.
%       По-русски этого нормально сказать нельзя (подозреваю, впрочем, что и
%    по-французски).*]
%Будь по-твоему.
 скрытую красоту и спокойную силу топоса, чем любой из
        моих ученых коллег, прежних учеников и друзей{\ds}

           Ключ был один и тот же --- как при первоначальном, предварительном
        подходе (через посредство весьма удобного, но менее подлинного
        понятия {\лк}ситуса{\пк}), так и в случае топоса.  Идею топоса я хотел бы
        сейчас попытаться описать.

           Рассмотрим совокупность {\it всех\/} пучков над заданным
        (топологическим) пространством, или, если угодно, тот диковинный
        арсенал, образованный {\it всеми\/} эталонами метра, служащими для
        его измерения\footnote{(Предназначено для математика.)  По правде
        говоря, здесь речь идет о пучках {\it множеств}, а не о {\it пучках
        абелевых групп}, введенных Лерэ как самые общие  коэффициенты
{\лк}теории когомологий{\пк}.  Думаю, что я первым  начал  систематически
        работать с пучками множеств (начиная с 1955 года, в моей статье
        {\лк}Общая теория расслоенных пространств со структурным пучком{\пк},
изданной в
        Канзасском Университете).}.  Мы рассмотрим эту {\лк}совокупность{\пк}, или
        {\лк}арсенал{\пк}, как снабженный наиболее очевидной структурой, которую
        ему можно приписать, так сказать, {\лк}на глазок{\пк} --- именно, структурой,
        называемой {\лк}категорией{\пк}.  (Читателю, не знакомому
        с термином в техническом смысле, не о чем беспокоиться.  Это совсем
        не понадобится в дальнейшем.)  Это нечто вроде {\лк}сверхструктуры
        измерения{\пк} по имени {\лк}категория пучков{\пк} (над рассматриваемым
        пространством), которая впредь будет считаться как бы {\лк}воплощающей{\пк}
        то, что наиболее существенно для пространства.  Это законно (с точки
        зрения {\лк}математического здравого смысла{\пк}), поскольку оказывается
        возможным {\лк}воссоздать{\пк} полностью исходное топологическое
        пространство\footnote{(Предназначено для математика.)  Строго говоря,
        это справедливо лишь для пространств, называемых {\лк}трезвыми{\пк}.  Они,
        однако же, составляют почти все типы пространств, с какими
        обыкновенно сталкиваешься --- в частности, таковы все {\лк}отделимые{\пк}
        пространства, излюбленные аналитиками.} в терминах {\лк}категории пучков{\пк}
        (или арсенала измерительных приборов), ему соответствующей.
        (Проверить это --- простое упражнение; конечно, когда вопрос уже
        поставлен\dsp)  Ничего больше не нужно для уверенности в том, что
        (если это почему-либо для нас заманчиво) мы отныне можем {\лк}забыть{\пк}
        об исходном пространстве, чтобы держать в уме и использовать только
        соответствующую {\лк}категорию{\пк} (или {\лк}арсенал{\пк}), которая будет
        рассматриваться как наиболее адекватное олицетворение топологической
        (или {\лк}пространственной{\пк}) структуры, о выражении которой идет речь.

           Как это часто бывает в математике, нам удалось (благодаря
        решающему влиянию идеи о пучке, или {\лк}когомологическом метре{\пк})
        выразить некоторое понятие ({\лк}пространства{\пк}, в данном случае) в
        терминах другого ({\лк}категории{\пк}).  Всякий раз открытие такого
        {\it перевода\/} понятия (отражающего определенное положение вещей)
        на язык другого понятия (соответсвующего ситуациям иного типа)
        обогащает наше представление о каждом из них путем неожиданного
        слияния особенностей интуитивного восприятия, характерных для одного
        и другого.  Так, ситуация по природе {\лк}топологическая{\пк} (воплощенная в
        данном пространстве) оказывается здесь представленной ситуацией по
        природе {\лк}алгебраической{\пк} (воплощенной в {\лк}категории{\пк}); или, если
        угодно, {\лк}непрерывное{\пк}, воплощенное в образе пространства, предстает
        {\лк}переданным{\пк}, или {\лк}выраженным{\пк} структурой категории, по природе
        {\лк}алгебраической{\пк} (воспринимавшейся до сих пор как существенно
        {\лк}разрывная{\пк}, или {\лк}дискретная{\пк}).

%           Но здесь речь не только об этом обогащении переводом, лишний раз
%        благословившем математику.
%Гоша (а также и Гротендик): предыдущую фразу вычеркнуть. Следующую начать так:
%Г Более того, первое из этих понятий...
%Ф Разве?  Ну, вычеркивайте сами; я этого что-то не вижу у Гротендика.
Более того, первое из этих понятий --- пространства ---
        казалось нам в каком-то смысле понятием (по содержательности)
        {\лк}максимальным{\пк} --- настолько уже обобщенным, что едва ли можно себе
        представить его расширение, которое оставалось бы в рамках
        {\лк}разумного{\пк}.  Напротив, другая сторона
зеркала\footnote{{\лк}Зеркало{\пк}, о
        котором речь, таково, что если поместить перед ним пространство,
        оно даст (как в {\лк}Алисе в стране чудес{\пк})
%Г фактическая ошибка Гротендика: надо {\лк}Алисе в Зазеркалье{\пк}
%Ф Для этого придумали примечания редактора.  А кто из вас здесь
%Ф редактор, между прочим?
в качестве {\лк}отражения{\пк}
        соответствующую категорию, рассматриваемую как что-то вроде
        {\лк}двойника{\пк} пространства, {\лк}другой стороны зеркала{\пк}\ds}, эти
        {\лк}категории{\пк} (или {\лк}арсеналы{\пк}), с которыми сталкиваются, сойдя с
        крыльца топологических пространств, имеют весьма частную природу.
        Они располагают в действительности набором свойств в высшей степени
        типических\footnote{(Предназначено для математика.)  Здесь речь
        идет прежде всего о свойствах, которые я ввел в теорию категорий
        под названием {\лк}свойства точности{\пк} (одновременно с современным
        категорным понятием общих индуктивных и проективных {\лк}пределов{\пк}).
        См.\ русский перевод
{\лк}О некоторых вопросах гомологической алгебры{\пк}, Библиотека
сборника \лк Математика\пк, Москва, 1961. }, что делает их как бы {\лк}имитациями{\пк}
самой
        простой из них, какую только можно вообразить --- той, которую
        получают, исходя из пространства, сведенного к одной точке.  То есть
        {\лк}пространство в новом стиле{\пк} (или {\it топос\/}), обобщающее
        традиционные топологические пространства, будет описываться попросту
        как {\лк}категория{\пк}, которая, не вытекая с необходимостью из
        обыкновенного пространства, тем не менее обладает всеми хорошими
        свойствами (единожды четко для всех определенными, разумеется)
        этой {\лк}категории пучков{\пк}.

\begin{center}
*\hspace{1cm}*
\end{center}
\begin{center}
*
\end{center}

           Вот это и есть новая идея.  Ее возникновение можно рассматривать
        как результат наблюдения, сказать по правде, почти детской простоты,
        что то, что на самом деле важно в топологическом пространстве --- это
        отнюдь не его {\лк}точки{\пк} и не его {\лк}подмножества{\пк}\footnote{Так,
        можно построить топос весьма {\лк}объемный{\пк}, в котором будет только
        одна {\лк}точка{\пк} --- или вовсе ни одной!} с отношениями близости между
        ними, но {\it пучки\/} над этим пространством и {\it категория},
        которую они образуют.  В том, чего я добился, я лишь довел до
        логического конца исходную идею Лерэ --- тем самым переступил нечто,
        {\it решившись сделать шаг}.

           Как сама идея о пучках (принадлежащая Лерэ), или о схемах, как
        всякая {\лк}большая идея{\пк} (концепция), которая переворачивает вверх дном
        закоснелое, устоявшееся мировосприятие, идея топоса ошеломляет
        своей естественностью, {\лк}очевидностью{\пк}, простотой (на грани, я бы
        сказал, наивности и простоты даже {\лк}глуповатой{\пк}) --- тем особенным
        свойством, которое так часто вынуждает нас восклицать: {\лк}О, это
        невозможно!{\пк}\ --- полуразочарованно, полузавистливо, еще, пожалуй, с
        оттенком, который можно передать словами {\лк}сумасбродно{\пк},
{\лк}несерьезно{\пк},
        припасенными у всех, кто в ужасе шарахается, неожиданно столкнувшись
        с чем-то простым до неприличия.  С тем, что нам напоминает, быть
        может, дни нашего младенчества, спрятанные глубоко в памяти, ибо
        мы давно от них отреклись{\ds}


